一体方程 二体运动方程求解

2020-05-26 07:15:02 类别:运动 来源:优优资讯

dx / dt  =   - G M / (x + y) 3/2次方  *  x

dy / dt  =   - G M / (x + y) 3/2次方  *  y

dρ / dt  =  -  G M / ρ  +  ( ρ dθ / dt sin dθ  +  dρ / dt cos dθ - dρ / dt  ) / dt   

dv切 = v切 cos dθ - v径 sin dθ - v切

在 《大神们 看看 这个 微分方程 怎幺解》  中 还提到了  教科书 解 二体问题 的 方法 和 我 的 方法 的 对比 :

教科书 上 的 二体问题 解法 是 以 角动量守恒 为 前提,  推出 开普勒第一定律,   即 运动质点 的 轨迹 是 椭圆,  再结合 万有引力 机械能守恒 微积分方法 来 求出 二体运动方程  。

本文 的 意图 是 不考虑 角动量守恒,  从 运动规律 入手,  先 解出 线速度 变化规律,   再结合 万有引力 机械能守恒 微积分方法 来 求出 二体运动方程  。

线速度 变化规律  应该是 二体问题 的 一个 突破口,      当然,  先得把 方程 解出来    。

以上 是 一体问题,   也可以说是 二体问题,     因为 二体问题 可以 通过 约化质量  转化为 一体问题  。   什幺 是 约化质量 呢  ?

设 有 2 个 质点 A 、B,    质量为 M 、m,     两者 在 引力 作用下 运动,  相对于 第三方参照系,   速度 为 V 、v,  加速度 为  A 、a ,   两者间 的 引力 为  F,  根据  牛顿第二定律 :

A = F / M

a = F / m    

如果 以 A 为 参照系,  根据 伽利略变换,   B 相对于 A 的 加速度  a ′  =   A + a,     即    a ′  =   F / M   +   F / m    ,

我们可以引入一个 虚拟 的 质量  m约  ,   这样,   a ′  可以表示成    a ′  =   F / m约         ,       于是 ,

F / m约   =   F / M   +   F / m 

1 / m约   =   1 / M   +   1 / m

1 / m约   =   ( m + M )  /  M m

m约   =   M m  /  ( m + M ) 

m约   =   M m  /  ( M + m )        就是  B  相对于 A 的 约化质量,    以 m约 作为 B 的 质量,  则 可以 把 A 看作  是 惯性系 ,  这样 就把 二体问题 转化成了 一体问题   。

通过 约化质量   把  二体 转化为 一体 后,   就可以用  一体 的 方法 方程 来 研究 二体    。

接下来 我们 来 看 三体,   简单起见,      以 二维情形 为例,      在  二维直角坐标系 下 ,

设  三个质点 的 质量 为  m1, m2, m3 ,      x 方向 速度 为  v1_x, v2_x, v3_x ,   y 方向 速度 为  v1_y, v2_y, v3_y  ,  x 坐标 为  x1, x2, x3 ,  y 坐标 为   y1, y2, y3       。

三体方程组 :

m1 *  dx1 / dt  =   G * m1 m2 / [ (x2 - x1) + (y2 - y1)  ] * (x2 - x1) / [ (x2 - x1) + (y2 - y1)  ] 开方     +      G * m1 m3 / [ (x3 - x1) + (y3 - y1)  ] * (x3 - x1) / [ (x3 - x1) + (y3 - y1)  ] 开方

m1 *  dy1 / dt  =   G * m1 m2 / [ (x2 - x1) + (y2 - y1)  ] * (y2 - y1) / [ (x2 - x1) + (y2 - y1)  ] 开方     +      G * m1 m3 / [ (x3 - x1) + (y3 - y1)  ] * (y3 - y1) / [ (x3 - x1) + (y3 - y1)  ] 开方

m2 *  dx2 / dt  =   G * m2 m1 / [ (x1 - x2) + (y1 - y2)  ] * (x1 - x2) / [ (x1 - x2) + (y1 - y2)  ] 开方     +      G * m2 m3 / [ (x3 - x2) + (y3 - y2)  ] * (x3 - x2) / [ (x3 - x2) + (y3 - y2)  ] 开方

m2 *  dy2 / dt  =   G * m2 m1 / [ (x1 - x2) + (y1 - y2)  ] * (y1 - y2) / [ (x1 - x2) + (y1 - y2)  ] 开方     +      G * m2 m3 / [ (x3 - x2) + (y3 - y2)  ] * (y3 - y2) / [ (x3 - x2) + (y3 - y2)  ] 开方

m3 *  dx3 / dt  =   G * m3 m1 / [ (x1 - x3) + (y1 - y3)  ] * (x1 - x3) / [ (x1 - x3) + (y1 - y3)  ] 开方     +      G * m3 m2 / [ (x2 - x3) + (y2 - y3)  ] * (x2 - x3) / [ (x2 - x3) + (y2 - y3)  ] 开方

m3 *  dy3 / dt  =   G * m3 m1 / [ (x1 - x3) + (y1 - y3)  ] * (y1 - y3) / [ (x1 - x3) + (y1 - y3)  ] 开方     +      G * m3 m2 / [ (x2 - x3) + (y2 - y3)  ] * (y2 - y3) / [ (x2 - x3) + (y2 - y3)  ] 开方

这样写  三体方程组 不容易看懂,  可以 写成 文字式 的 方程,  就容易看懂了,  文字式 的 方程 相当于 计算机 程序  里 的  伪代码   。

m1 * a1_x  =   m2 对 m1 的 引力 的 x 分量     +     m3 对 m1 的 引力 的 x 分量

m2 * a1_y  =   m2 对 m1 的 引力 的 y 分量     +     m3 对 m1 的 引力 的 y 分量

m2 * a2_x  =   m1 对 m2 的 引力 的 x 分量     +     m3 对 m2 的 引力 的 x 分量

m2 * a2_y  =   m1 对 m2 的 引力 的 y 分量     +     m3 对 m2 的 引力 的 y 分量

m3 * a3_x  =   m1 对 m3 的 引力 的 x 分量     +     m2 对 m3 的 引力 的 x 分量

m3 * a3_y  =   m1 对 m3 的 引力 的 y 分量     +     m2 对 m3 的 引力 的 y 分量

a1_x , a1_y   是  m1  在 x , y 方向 上 的 加速度,        a2_x , a2_y   是  m2  在 x , y 方向 上 的 加速度,       a3_x , a3_y   是  m3  在 x , y 方向 上 的 加速度   。

可以看到,   二维平面 上 的 三体方程组 是   6 个 方程,   是  3 个 质点 在 x , y  2 个 坐标 上 的 的 运动方程,  所以是  3 * 2 = 6   个 运动方程  。

对于 三维空间,   还要 增加 z 坐标 上 的 运动方程,   每个 质点  对应一个 z 坐标 运动方程,  3 个 质点 就需要 增加 3 个 z 坐标 运动方程, 

所以,    三维空间  上 的  三体方程组 是   6 + 3 = 9 个 运动方程  。

也可以说,   在 三维空间 上,  每个 质点 在 x , y , z   坐标 上 每个 坐标 有一个 运动方程,  x, y, z  3 个 坐标 就 对应 3 个 运动方程,  

也就是说,   在 三维空间 上,  一个 质点  对应 3 个 运动方程,  3 个 质点  就 对应  3 * 3 = 9    个  运动方程   。

二维平面 上   三体方程组 的 解 是 :          v1_x, v2_x, v3_x ,     v1_y, v2_y, v3_y  ,    x1, x2, x3 ,     y1, y2, y3

即  3 个 质点 在 时刻 t 时 的   位置 和 速度,  一共   12 个 变量,     这 12 个 变量 都是 积分,

所以,  也可以说,  二维平面 上    三体方程组 的 解 是 12 个 积分 。

对于 三维空间,  还要增加  z 坐标 的 速度 和 位置 :     v1_z , v2_z , v3_z   ,     z1 , z2 , z3        。

z 坐标 的 速度 和 位置 一共 是  6 个 变量,  加上 二维平面 的 12 个 变量,     三维空间 上 的 三体方程组  的 解 是  12 + 6 = 18  个 变量,  也可以说 是  18 个 积分    。

也可以说,     在 三维空间 上,  一个 质点  对应 的 速度 位置 是  6 个变量 :     v_x ,  v_y , v_z  ,    x , y , z      ,

3 个 质点  对应   3 * 6 = 18  个 变量   。

三体方程组 怎幺解 ?        我们 看看 一体方程组 怎幺解 就知道了 。  在 本文开头,  我们 提出了  一体 在 直角坐标系 下 的 方程组 :

dx / dt  =   - G M / (x + y) 3/2次方  *  x      (1) 式

dy / dt  =   - G M / (x + y) 3/2次方  *  y      (2) 式

最简单 的 思路 是 代入消元法,    和 解 初等代数方程组 一样,     先把  (1) 式 里 的 x 解出来,  x 是一个 y 的 表达式,  应该是 三角函数 自然对数 等 初等函数 的 组合,   把  x  代入 到   (2) 式 ,      这样   (2) 式 就 只有   y 一个 未知数,   再 从 (2) 式 中 把 y 解出来 ,  就可以了  。

注意,  在 从 (1) 式 中 解 出 x 时,  是 解 微分方程,  会 进行 微分积分 计算,   此时,   应 将 y 看作 常量  ,  这样来解   。

把  y 看作 常量  ?           这 是 偏导数 和 偏微分 方程 ?       呵呵,   你说呢  ?

偏导数 是 怪胎,      偏微分方程 毫无意义 。

这样 能 解出   一体方程组 和 三体方程组 吗?         大家 自己 去 试试 就知道了  ,  哈哈哈哈       。

我后来 想了一下,    解这个 微分方程组    解 (1) 式  不能 把   y 看作 常量,      x y 相互影响, 一起变化,  所以,  x y  对于 (1) (2) 式   都是 和 微分 相关 的 变量 ,   不能 把  y 看作 常量 来解 (1) 式,  也不能 把  x 看作 常量 来解 二式   。

对于 微分方程组,     大概 要用 定性分析 的 方法 来 解,      就是 尝试 凑一个  或者一些 函数 看 能否 满足 方程组    。

可以发现,   n-体 运行 一小段时间以后,   就会 发生 碰撞, 或者 相互 无限远离 。     可以 通过 多次 的 演示测试 观察,  通常,  n-体 开始运行后 没有 明显 的 周期性, 并且 在 很短 的 时间 内 就 达到 了 “结局” ,   所谓 结局 就是 质点 发生 碰撞,  未 碰撞 的 质点 相互 无限远离 。

据此,  我们 可以推测,    如果 存在 一个 稳定运行 的 n-体 的 话,  那幺 这个 n-体 应该是 周期性 的 。

稳定运行 是指 质点 不发生 碰撞 。

进一步, 也可以这样说,   如果 一个 n-体 是 不可碰撞 的,  那幺,  这个 n-体 是 周期性 的 。

我将 这个 推测 命名 为 “K氏 n-体 猜想”  。

如果  K氏 n-体 猜想  成立,  那幺 大刘(刘慈欣) 写的 《三体》 小说 里 三体人 居住 的 三体恒星系统 的 三体问题 就是 可以解的 。

三体恒星系统 存在了 很长时间,   没有 发生 碰撞,  所以 应该是 周期性 的,  既然 是 周期性 的, 就可以 观察 规律 和 预测  。